Question

【題目】為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校組織了一次實(shí)地測(cè)量活動(dòng)，如圖，假設(shè)待測(cè)量的樹(shù)木 的高度 ，垂直放置的標(biāo)桿 的高度 ，仰角 三點(diǎn)共線），試根據(jù)上述測(cè)量方案，回答如下問(wèn)題：

（1）若測(cè)得 ，試求 的值；
（2）經(jīng)過(guò)分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，大家一致認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到樹(shù)木的距離 （單位：）使 與 之差較大時(shí)，可以提高測(cè)量的精確度.若樹(shù)木的實(shí)際高為 ，試問(wèn) 為多少時(shí)， 最大？

Answer 1

【答案】
（1）解： ，同理： ， ．

，故得 ，

解得：

（2）解：由題設(shè)知 ，得 ，

而 ，（當(dāng)且僅當(dāng) = 時(shí) 取等號(hào)）

故當(dāng) 時(shí)， 最大．

因?yàn)? ，則 ，

所以當(dāng) 時(shí)， 最大．

【解析】（1）根據(jù)題意解三角形即可得出A B 、B D的代數(shù)式再利用A D A B = D B即可求出H。（2）先d分別表示出tanα、，再根據(jù)兩角和公式求得 tan ( α β )的代數(shù)式整理成基本不等式的形式然后根據(jù)基本不等式求出該式的最大值進(jìn)而可得 α β 有最大值求出即可。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”才能正確解答此題．