Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+b，其圖象在點(diǎn)P處的切線為l：y=4x-4，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2（如圖）．求直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區(qū)域的面積．

Answer 1

分析：先利用導(dǎo)數(shù)求出該點(diǎn)的斜率，然后求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，得出函數(shù)的解析式，最后根據(jù)定積分即可求出直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區(qū)域的面積．

解答：解：f′（x）=3ax²．∴f′（2）=12a，
切線的斜率 k=12a，∵切線方程為：y=4x-4，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為了（2，4）
∴12a=4，∴a=

1

3

，且f（2）=ax³+b=4，∴b=

4

3

，
即a=

1

3

 ， b=

4

3

，f(x)=

1

3

x3+

4

3

，
直線l：y=4x-4與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
所以直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區(qū)域的面積為：
S=

∫

1 0

(

1

3

x3+

4

3

)dx+

∫

2 1

[(

1

3

x3+

4

3

)-(4x-4)]dx
=(

1

12

x4+

4

3

x)

|

1 0

+(

1

12

x4+

16

3

x-2x2)

|

2 1

=

1

12

+

4

3

+

1

12

×24+

16

3

×2-2×2²-（

1

12

+

16

3

-2）=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，同時(shí)考查了定積分，屬于中檔題．