Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線$\frac{x^2}{12}$-$\frac{y^2}{4}$=1的右焦點(diǎn)為F，一條過原點(diǎn)O且傾斜角為銳角的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若△FAB的面積為8$\sqrt{3}$，則直線l的斜率為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}}}{7}$

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為y=kx，代入雙曲線$\frac{x^2}{12}$-$\frac{y^2}{4}$=1，求得得x²-3k²x²=12，求得A，B的橫坐標(biāo)，代入直線方程求得，求得其縱坐標(biāo)，求出A，B縱坐標(biāo)差的絕對值，根據(jù)△FAB的面積為8$\sqrt{3}$，即可求出直線的斜率．

解答 解：雙曲線C：$\frac{x^2}{12}$-$\frac{y^2}{4}$=1的右焦點(diǎn)為F（4，0）．
設(shè)直線l的方程為y=kx，代入$\frac{x^2}{12}$-$\frac{y^2}{4}$=1，整理得x²-3k²x²=12，
∴x=±$\sqrt{\frac{12}{1-3{k}^{2}}}$，
∴A，B縱坐標(biāo)差的絕對值為2k$\sqrt{\frac{12}{1-3{k}^{2}}}$，
∵△FAB的面積為8 $\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•4•2k $\sqrt{\frac{12}{1-3{k}^{2}}}$=8 $\sqrt{3}$，
∴解得：k=$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．