Question

17．已知函數f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x-1）≤2，；
（Ⅱ）若a＞0，求證：f（ax）-af（x）≤f（a）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）當a＞0時，求得f（ax）-af（x）=|ax-1|-|a-ax|，利用絕對值不等式的性質可得|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=f（a），從而可證結論．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=|x-1|，不等式：f（x）+f（x-1）≤2，即|x-1|+|x-2|≤2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{1-x+2-x≤2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{x-1+（2-x）≤2}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x-1+x-2≤2}\end{array}\right.$③，
解①求得$\frac{1}{2}$≤x＜1，解②求得 1≤x≤2，解③求得2＜x≤$\frac{5}{2}$．
綜合可得，不等式的解集為{x|$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$}．
（Ⅱ）證明：若a＞0，則f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|=|ax-1|-|ax-a|≤|（ax-1）-（ax-a）|=|a-1|=f（a），
即f（ax）-af（x）≤f（a）成立．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，掌握雙絕對值不等式的性質，通過分類討論去掉絕對值符號是解題的關鍵，考查轉化思想與分類討論思想的綜合應用，屬于中檔題．