Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DBA=30°，∠DAB=60°，AD=1，PD⊥底面ABCD． 
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角P-AB-D余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得BD⊥AD，BD⊥PD，從則BD⊥面PAD，由此能證明PA⊥BD．
（Ⅱ）過(guò)D作DO⊥AB交AB于O，連接PO，由PD⊥底面ABCD，知∠POD為二面角P-AB-D的平面角．由此能求出二面角P-AB-D余弦值．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵∠DBA=30°，∠DAB=60°，
∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，∴BD⊥PD，
∴BD⊥面PAD，∴PA⊥BD．
（Ⅱ）過(guò)D作DO⊥AB交AB于O，連接PO，
∵PD⊥底面ABCD，
∴∠POD為二面角P-AB-D的平面角．
在Rt△ABD中，∵AD=1，∠ABD=30°，
∴AB=2，BD=

3

，∴DO=

3

2

，
而PD=AD=1，在Rt△PDO中，PD=1，DO=

3

2

，
∴PO=

7

2

，
∴cos∠POD=

DO

PO

=

21

7

．
∴二面角P-AB-D余弦值為

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．