Question

【題目】如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，且側棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是側棱PC上的動點

（1）求四棱錐P－ABCD的體積；

（2）證明：BD⊥AE。

（3）求二面角P-BD-C的正切值。

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）四棱錐P-ABCD的體積V=S正方形ABCDPC，由此能求出結果．（2）連結AC，由已知條件條件出BD⊥AC，BD⊥PC，從而得到BD⊥平面PAC，不論點E在何位置，都有AE平面PAC，由此能證明BD⊥AE．

（3）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-BD-C的正切值

試題解析：（1）該四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，

側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.

∴ …………4分

(2)連結AC，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC …………6分

又∵∴BD⊥平面PAC

∵不論點E在何位置，都有AE平面PAC

∴BD⊥AE …………8分

（3）設相交于，連,由四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PC⊥底面ABCD知，是二面角P-BD-C的的一個平面角， …………10分

,即二面角P-BD-C的正切值為.…………12分