Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-

1

2

x+2ln（x+1）．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程；
（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）-ln（x+1）圖象上的點(diǎn)都在

x≥0 y- 1 2 x≤0

所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將x=0代入函數(shù)f（x）的解析式，可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，將x=0代入導(dǎo)函數(shù)f′（x）的解析式，可求出切線(xiàn)斜率，進(jìn)而可得切線(xiàn)方程；
（2）由函數(shù)y=f（x）-ln（x+1）圖象上的點(diǎn)都在

x≥0 y- 1 2 x≤0

所表示的平面區(qū)域內(nèi)，可得ax²-x+2ln（x+1）≤0恒成立．構(gòu)造函數(shù)g（x）=ax²-x+2ln（x+1），（x≥0），只需g（x）_max≤0即可，利用導(dǎo)數(shù)法分類(lèi)討論滿(mǎn)足g（x）_max≤0時(shí)實(shí)數(shù)a的范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f（0）=0，所以切點(diǎn)為（0，0）
∵f′(x)=2ax-

1

2

+

2

x+1

∴f′(0)=-

1

2

+2=

3

2

所以所求切線(xiàn)方程為y=

3

2

x…（4分）
（2）∵函數(shù)y=f（x）-ln（x+1）圖象上的點(diǎn)都在

x≥0 y- 1 2 x≤0

所表示的平面區(qū)域內(nèi)，
∴x∈[0，+∞）時(shí)，不等式ax²-x+2ln（x+1）≤0恒成立．
設(shè)g（x）=ax²-x+2ln（x+1），（x≥0），只需g（x）_max≤0即可
由g′(x)=2ax+

1

x+1

-1=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，…（6分）
（i） 當(dāng)a=0時(shí)，g′(x)=

-x

x+1

，
當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故g（x）≤g（0）=0成立． …（8分）
（ii） 當(dāng)a＞0時(shí)，由g′(x)=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

=0，
∵x∈[0，+∞），
∴x=

1

2a

-1，
①若

1

2a

-1＜0，即a＞

1

2

時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上，g'（x）＞0，
則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
g（x）在[0，+∞）上無(wú)最大值，
當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，此時(shí)不滿(mǎn)足條件；
②若

1

2a

-1≥0，即0＜a≤

1

2

時(shí)，
則函數(shù)g（x）在（0，

1

2a

-1）上單調(diào)遞減，在（

1

2a

-1，+∞）上單調(diào)遞增
g（

1

a

）=ln（1+

1

a

）＞0，不滿(mǎn)足條件
（iii） 當(dāng)a＜0時(shí)，由g′(x)=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
∵x∈[0，+∞），
∴2ax+（2a-1）＜0，…（11分）
∴g'（x）＜0，故函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
故g（x）≤g（0）=0成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，二元一次不等式組與平面區(qū)域，（1）的關(guān)鍵是求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線(xiàn)斜率，（2）的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=ax²-x+2ln（x+1），（x≥0），滿(mǎn)足g（x）_max≤0．