Question

19．已知函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2{sin^2}x$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期、單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈$[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性與周期性即可求出結(jié)果；
（Ⅱ）由x∈$[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，判定f（x）的單調(diào)性并求出它的最大、最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2{sin^2}x$
=cos2xcos$\frac{π}{3}$+sin2xsin$\frac{π}{3}$+2×$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，…3分
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z；
解得：$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}\;，k∈Z$；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}\;]，k∈Z$；…4分
最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$；…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈$[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$；
$0≤x≤\frac{π}{3}$時(shí)，-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$，$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+1$為增函數(shù)，…7分，
$\frac{π}{3}\;≤x≤\frac{π}{2}$時(shí)，$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+1$為減函數(shù)，…9分
又$f（0）=sin（-\frac{π}{6}）+1=\frac{1}{2}$，
$f（\frac{π}{3}）=sin（\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}）+1=2$，
$f（\frac{π}{2}）=sin（π-\frac{π}{6}）+1=\frac{3}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的最大值為2，最小值為$\frac{1}{2}$． …10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．