Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+2$，試求：
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期及x為何值時f（x）有最大值；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若方程f（x）-m+1=0在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦函數(shù)圖象的周期求法和最值的求法解答；
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解答；
（3）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m-1在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有交點，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求出f（x）的值域，可得m的范圍．

解答 解：（1）$T=\frac{2π}{|w|}=\frac{2π}{2}=π$．
令$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，
解得$x=\frac{π}{8}+kπ（k∈Z）$，
即$x=\frac{π}{8}+kπ（k∈Z）$時，f（x）有最大值．
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，
∴$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ（k∈Z）$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為 $[-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ]（k∈Z）$．）
（3）方程f（x）-m+1=0在$x∈[0，\frac{π}{2}]$上有解，等價于兩個函數(shù)y=f（x）與y=m-1的圖象有交點．                            
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，
∴$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{4}）≤1$，
即得$\frac{3}{2}≤f（x）≤2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{3}{2}≤m-1≤2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴m的取值范圍為$[\frac{5}{2}，3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的最小正周期、正弦函數(shù)的圖象的對稱性、單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．