Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+x}{1-x}{e}^{-ax}$．求證：當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)得到$f′（x）=\frac{2}{（1-x）^{2}}{e}^{-ax}+\frac{a（1+x）}{x-1}{e}^{-ax}$，從而由a＞0，x＞1便可說明f′（x）＞0，這便得出f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

解答 證明：$f′（x）=\frac{2}{（1-x）^{2}}{e}^{-ax}+\frac{a（1+x）}{x-1}{e}^{-ax}$；
∵x＞1，a＞0，且e^-ax＞0；
∴f′（x）＞0；
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

點(diǎn)評 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號證明函數(shù)單調(diào)性的方法，商、積和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，以及指數(shù)函數(shù)的值域，注意正確求導(dǎo)．