Question

已知f（x）=sinx-

3

cosx（x∈[0，2π]），求函數值域，并求取最值時x的取值．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：利用三角恒等變換，化簡可得f（x）=2sin（x-

π

3

），再由x∈[0，2π]⇒x-

π

3

∈[-

π

3

，

5π

3

]，利用正弦函數的單調性與最值即可求得函數值域并求最大值x的取值．

解答： 解：f（x）=sinx-

3

cosx=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）=2sin（x-

π

3

），
∵x∈[0，2π]，∴x-

π

3

∈[-

π

3

，

5π

3

]），
∴2sin（x-

π

3

）∈[-2，2]，
即函數f（x）=sinx-

3

cosx（x∈[0，2π]）的值域為[-2，2]，
當x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

6

時，f（x）取得最小值-2；
x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

6

時，f（x）取得最大值2．

點評：本題考查三角函數的最值，著重考查三角恒等變換的應用及正弦函數的單調性與最值，屬于中檔題．