Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=4n，若不等式S_n+8≥λn對任意的n∈N^*都成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-∞，10]．

Answer 1

分析 先根據(jù)a_n=4n得到數(shù)列{a_n}是以4為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得到S_n=2n+2n²，原不等式轉(zhuǎn)化為λ≤2（n+$\frac{4}{n}$）+2，根據(jù)基本不等式即可求出答案．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=4n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=4，
∵a_n-a_n-1=4n-4（n-1）=4，
∴數(shù)列{a_n}是以4為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=$\frac{n（4+4n）}{2}$=2n+2n²，
∵不等式S_n+8≥λn對任意的n∈N^*都成立，
∴2n+2n²+8≥λn對任意的n∈N^*都成立，
即λ≤2（n+$\frac{4}{n}$）+2，
∵n+$\frac{4}{n}$≥2$\sqrt{n•\frac{4}{n}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號，
∴λ≤2×4+2=10，
故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-∞，10]，
故答案為：（-∞，10]．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列的求和公式和不等式恒成立問題，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．