Question

4．如圖同心圓中，大、小圓的半徑分別為2和1，點P在大圓上，PA與小圓相切于點A，Q為小圓上的點，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PQ}$的取值范圍是[3-$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)Q（cosα，sinα），A（0，-1），取P（-$\sqrt{3}$，-1），
利用平面向量的坐標(biāo)表示求數(shù)量積，根據(jù)三角函數(shù)的有界性求出它的取值范圍．

解答 解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)Q（cosα，sinα），A（0，-1），
則P（±$\sqrt{3}$，-1），不妨取P（-$\sqrt{3}$，-1），
則$\overrightarrow{PA}$=（$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PQ}$=（cosα+$\sqrt{3}$，sinα+1），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PQ}$=$\sqrt{3}$（cosα+$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$cosα+3；
又cosα∈[-1，1]，
∴3-$\sqrt{3}$≤$\sqrt{3}$cosα+3≤3+$\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PQ}$的取值范圍是[3-$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$]．
故答案為：[3-$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是基礎(chǔ)題．