Question

過點(diǎn)（0，-1）的直線l與兩曲線y=lnx和x²=2py均相切，則p的值為（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、2
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：分別設(shè)出兩切點(diǎn)，再求出兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并用兩種形式寫出切線的斜率，再結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式，列方程解出x₁，x₂，從而求出p的值．

解答：解：設(shè)直線l與兩曲線y=lnx和x²=2py相切的切點(diǎn)分別是A（x₁，lnx₁），B（x₂，

x22

2p

），
∵y=lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=

1

x

，x²=2py即y=

x2

2p

的導(dǎo)數(shù)為y′=

x

p

，
∴直線l的斜率為

1

x1

=

x2

p

，
又直線l過（0，-1），
∴直線l的斜率且為

lnx1+1

x1

=

x22 2p +1

x2

，
∴x₁=1，x₂=p，

p2

2p

+1=p，
∴p=2．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，抓住在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為在這點(diǎn)處切線的斜率，同時(shí)注意運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，是一道中檔題．