Question

15．已知直角△ABC的一邊長(zhǎng)a=2，另兩邊長(zhǎng)b，c是關(guān)于x的方程x²-4x+m=0的兩個(gè)根，求m的值和△ABC的面積．

Answer 1

分析 由已知及一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系可得b+c=4，bc=m，分類討論，求出bc的值，分別利用直角三角形的面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵直角△ABC的一邊長(zhǎng)a=2，另兩邊長(zhǎng)b，c是關(guān)于x的方程x²-4x+m=0的兩個(gè)根，
∴b+c=4，bc=m，
①若a為三角形的斜邊，則：b²+c²=4，聯(lián)立b+c=4，解得：bc=3，
可得：m=bc=3，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{3}{2}$．
②若a為三角形的一直角邊，不妨設(shè)b為斜邊，則：b²=4+c²，聯(lián)立b+c=4，解得：c=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{5}{2}$，
可得：m=bc=$\frac{15}{4}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{15}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解的定義，三角形三邊關(guān)系和直角三角形的性質(zhì)，考查了分類討論思想，屬于中檔題．