Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinxsin（

π

2

+x）+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期以及區(qū)間[0，

π

2

]上的最值，并指出相應(yīng)的x值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜

π

2

）個單位后所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，求φ的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得f（x）=

5

4

+

1

2

sin(2x+

π

6

)，從而可求f（x）的最小正周期以及區(qū)間[0，

π

2

]上的最值及相應(yīng)的x值；
（2）通過函數(shù)圖象的平移求得函數(shù)的表達式，使得函數(shù)關(guān)于y軸對稱，求出φ的值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinxsin（

π

2

+x）+1=

1

2

×

1+cos2x

2

+

3

2

×sinx×cosx+1=

5

4

+

1

2

sin(2x+

π

6

)，
∴T=

2π

2

=π，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，從而得1≤

5

4

+

1

2

sin(2x+

π

6

)≤

7

4

，
∴當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時函數(shù)有最大值

7

4

，
當2x+

π

6

=

7π

6

時，即x=

π

2

，函數(shù)有最小值1．
（2）則f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜

π

2

）個單位后使得圖象的解析式為f（x）=

5

4

+

1

2

sin（2x+2φ+

π

6

），
由題意得2φ+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴φ=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)圖象的平移，函數(shù)的基本性質(zhì)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．