Question

13．已知函數(shù)f（x）=2x²+3x-5．
（1）求當(dāng)x₁=4，且△x=1時(shí)，函數(shù)增量△y和平均變化率$\frac{△y}{△x}$；
（2）求當(dāng)x₁=4，且△x=0.1時(shí)，函數(shù)增量△y和平均變化率$\frac{△y}{△x}$；
（3）若設(shè)x₂=x₁+△x，分析（1）（2）問中的平均變化率的幾何意義．

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)函數(shù)增量△y和平均變化率，再代入數(shù)值計(jì)算即可，根據(jù)平均變化率的幾何意義問題得意解決．

解答 解：（1）△y=f（x₁+△x）-f（x₁）=2（x₁+△x）²+3（x₁+△x）-5-2x₁²-3x₁+5=4x₁△x+2△x²+3△x，
當(dāng)x₁=4，且△x=1時(shí)，△y=4×4×1+2+3=21，
∴平均變化率$\frac{△y}{△x}$=$\frac{21}{1}$=21，
（2）當(dāng)x₁=4，且△x=0.1時(shí)，△y=4×4×0.1+0.02+0.3=1.92，
∴平均變化率$\frac{△y}{△x}$=$\frac{1.92}{0.1}$=19.2，
（3）在（1）中，$\frac{△y}{△x}$=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{f（5）-f（4）}{5-4}$，它表示拋物線上P₀（4，39）與點(diǎn)P₁（5，60）連線的斜率，
在（2）中，$\frac{△y}{△x}$=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{f（4.1）-f（4）}{4.1-4}$，它表示拋物線上點(diǎn)P₀（4，39）與點(diǎn)P₂（4.1，40.92）連線的斜率．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的平均數(shù)變化率的問題，以及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．