Question

5．（Ⅰ）將圓x²+y²=1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C．寫出C的參數方程；
（Ⅱ）極坐標系下，求直線ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$與圓ρ=2的公共點個數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設（x₁，y₁）為圓上的點，在已知變換下變?yōu)镃上點（x，y），依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}}\\{y=2{y}_{1}}\end{array}\right.$，由${x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}$=1，代入即可得出．利用平方關系可得參數方程．
（Ⅱ）將已知直線和圓的極坐標方程分別化為普通方程為x+y=2，x²+y²=4，由于圓心到直線的距離d與半徑比較，即可得出直線與圓相交的公共點個數．

解答 解：（Ⅰ）設（x₁，y₁）為圓上的點，在已知變換下變?yōu)镃上點（x，y），
依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}}\\{y=2{y}_{1}}\end{array}\right.$，由${x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}$=1，得x²+$（\frac{y}{2}）^{2}$=1，
即曲線C的方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
可得參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（Ⅱ）將已知直線和圓的極坐標方程分別化為普通方程為x+y=2，x²+y²=4，
由于圓心到直線的距離d=$\sqrt{2}$＜2，故直線與圓相交，即公共點個數共有2個．

點評 本題考查了坐標變換、三角函數平方關系、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．