Question

17．如圖，在△ABC中，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，AB=2，點(diǎn)D在線段AC上，且AD=2DC，BD=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，則△ABC的面積為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)BC=a，AD=2DC=2x，則AC=3x，先根據(jù)余弦定理可得9x²=4+a²-$\frac{4}{3}$a，①，再根據(jù)余弦定理可得3x²-a²=-6，②，求出a的值，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答 解：設(shè)BC=a，AD=2DC=2x，則AC=3x，
在△ABC中由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC，
即9x²=4+a²-$\frac{4}{3}$a，①
在△ABD和△DBC中由余弦定理可得
cos∠ADB=$\frac{B{D}^{2}+A{D}^{2}-A{B}^{2}}{2BD•AD}$=$\frac{\frac{16}{3}+4{x}^{2}-4}{\frac{16\sqrt{3}}{3}x}$，
cos∠BDC=$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}-B{C}^{2}}{2BD•CD}$=$\frac{\frac{16}{3}+{x}^{2}-{a}^{2}}{\frac{8\sqrt{3}}{3}x}$，
∵∠ADC=π-∠BDC，
∴cos∠ADC=cos（π-∠BDC）=-cos∠BDC，
∴$\frac{\frac{16}{3}+4{x}^{2}-4}{\frac{16\sqrt{3}}{3}x}$=-$\frac{\frac{16}{3}+{x}^{2}-{a}^{2}}{\frac{8\sqrt{3}}{3}x}$，
化簡(jiǎn)得3x²-a²=-6，②，
由①②可得a=3，x=1，BC=3，
∵cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，
∴sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sin∠ABC=$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理和三角形的面積公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．