Question

4．已知函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{4}$+x）sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$sinxcosx（x∈R）．
（1）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）在△ABC中，若f（A）=1，求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式與輔助角公式將f（x）=sin（$\frac{π}{4}$+x）sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$sinxcosx化為：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），即可求得f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）由A為三角形的內(nèi)角，f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1可求得A=$\frac{π}{6}$，從而sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{5π}{6}$-B），展開(kāi)后利用三角函數(shù)的輔助角公式即可求得sinB+sinC的最大值．

解答 （1）∵f（x）=sin（$\frac{π}{4}$+x）sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，
sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（$\frac{π}{6}$）=1；
（2）f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
而0＜A＜π可得：2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{6}$．
∴sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{5π}{6}$-B）=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$）．
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{3}$＜π，0＜sin（B+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴sinB+sinC的最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，著重考查三角函數(shù)的輔助角公式的應(yīng)用，考查分析與推理能力，屬于中檔題．