Question

10．關(guān)于x的方程2^2x-（m-1）2^x+2=0在x∈[0，2]時(shí)有唯一解，求m取值范圍．

Answer 1

分析 令2^x=t，在方程t²-（m-1）t+2=0在[1，4]上有唯一解，對(duì)判別式和區(qū)間端點(diǎn)值進(jìn)行討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和零點(diǎn)的存在性定理得出a的范圍．

解答 解：令2^x=t，則t∈[1，4]，
∴方程t²-（m-1）t+2=0在[1，4]上有唯一解．
（1）若△=（m-1）²-8=0，即m=1±2$\sqrt{2}$時(shí)，
若m=1+2$\sqrt{2}$，則t=$\sqrt{2}$，符合題意，
若m=1-2$\sqrt{2}$，則t=-$\sqrt{2}$，不符合題意．
（2）若△=（m-1）²-8＞0，即m＜1-2$\sqrt{2}$或m＞1+2$\sqrt{2}$時(shí)，
若t=1是方程的解，由根與系數(shù)的關(guān)系可知t=2也是方程的解，與方程在[1，4]上有唯一解矛盾；
若t=4是方程的解，由根與系數(shù)的關(guān)系可知t=$\frac{1}{2}$也是方程的解，符合題意；
此時(shí)m-1=4+$\frac{1}{2}$，∴m=$\frac{11}{2}$．
若方程的解在（1，4）上，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知（4-m）（22-4m）＜0，
解得4＜m＜$\frac{11}{2}$．
綜上，m的取值范圍是（4，$\frac{11}{2}$]∪{1+2$\sqrt{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，零點(diǎn)的存在性定理，屬于中檔題．