Question

14．已知函數(shù)f（x）=x+x•|x-a|，x∈[1，5]
（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a≥3時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的解析式，討論當(dāng)1≤x≤4時(shí)，當(dāng)4＜x≤5時(shí)，函數(shù)的解析式，求得單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）運(yùn)用分段函數(shù)的形式寫(xiě)出f（x）的解析式，討論（1）當(dāng)3≤a≤4$\sqrt{15}$-11時(shí)，（2）當(dāng)4$\sqrt{15}$-a＜a≤5時(shí)，（3）當(dāng)3＜$\frac{a+1}{2}$＜5，即5＜a＜9時(shí)，（4）當(dāng)a≥9時(shí)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x+x•|x-4|，
當(dāng)1≤x≤4時(shí)，f（x）=x+x（4-x）=5x-x²，
即有f（x）在[1，$\frac{5}{2}$]遞增，在[$\frac{5}{2}$，4]遞減；
當(dāng)4＜x≤5時(shí)，f（x）=x+x（x-4）=x²-3x，
對(duì)稱軸為x=$\frac{3}{2}$∉（4，5]，
可得f（x）在（4，5]遞增；
綜上可得f（x）的增區(qū)間為（1，$\frac{5}{2}$]，（4，5]；
減區(qū)間為[$\frac{5}{2}$，4]；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+（a+1）x，x≤a}\\{{x}^{2}+（1-a）x，x≥a}\end{array}\right.$，
由f（$\frac{a+1}{2}$）=$\frac{（a+1）^{2}}{4}$=f（5）=30-5a（a≤5），
解得a=4$\sqrt{15}$-11，
（1）當(dāng)3≤a≤4$\sqrt{15}$-11時(shí)，
f（x）在[1，$\frac{a+1}{2}$]遞增，在[$\frac{a+1}{2}$，a]遞減，
在（a，5]遞增，f（5）＞f（$\frac{a+1}{2}$），
可得f（5）取得最大值，且為30-5a；
（2）當(dāng)4$\sqrt{15}$-a＜a≤5時(shí)，f（x）在[1，$\frac{a+1}{2}$]遞增，在[$\frac{a+1}{2}$，a]遞減，
在（a，5]遞增，f（5）＜f（$\frac{a+1}{2}$），
可得f（$\frac{a+1}{2}$）取得最大值，且為$\frac{（a+1）^{2}}{4}$；
（3）當(dāng)3＜$\frac{a+1}{2}$＜5，即5＜a＜9時(shí)，f（x）=-x²+（a+1）x，x∈[1，5]，
即有f（$\frac{a+1}{2}$）取得最大值，且為$\frac{（a+1）^{2}}{4}$；
（4）當(dāng)a≥9時(shí)，f（x）=-x²+（a+1）x，x∈[1，5]，為遞增區(qū)間，
即有f（5）取得最大值，且為30-5a．
綜上可得，當(dāng)3≤a≤4$\sqrt{15}$-11時(shí)，f（x）的最大值為30-5a；
當(dāng)4$\sqrt{15}$-a＜a＜9時(shí)，f（x）的最大值$\frac{（a+1）^{2}}{4}$；
當(dāng)a≥9時(shí)，f（x）的最大值為30-5a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，注意運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．