Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2xsinα-1，x∈[-

3

2

，

1

2

]，a∈[0，2π]
（1）當α=

π

6

時，求f（x）的最大值和最小值，并求使函數(shù)取得最值的x的值；
（2）求α的取值范圍，使得f（x）在區(qū)間[-

3

2

，

1

2

]上是單調(diào)函數(shù)；
（3）當α∈[0，

π

2

]時，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由α=

π

6

時，可以確定函數(shù)的解析式f（x）=x2+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，從而利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）由f（x）在區(qū)間[-

3

2

，

1

2

]上是單調(diào)函數(shù)；利用對稱軸與給定區(qū)間的關系，求出-sinα≤-

3

2

，或者-sinα≥

1

2

即可得到α的取值范圍．
（3）當α∈[0，

π

2

]時，求出對稱軸x=-sinα范圍，討論與區(qū)間的關系，求最小值．

解答： 解（1）α=

π

6

時，f（x）=x2+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

由x∈[-

3

2

，

1

2

]，a∈[0，2π]，
當x=-

1

2

時，f（x）有最小值為-

5

4

；
當x=

1

2

時，f（x）有最大值為-

1

4

；
（2）f（x）=x²+2xsinα-1的圖象的對稱軸為x=-sinα，
由于f（x）在區(qū)間[-

3

2

，

1

2

]上是單調(diào)函數(shù)；
當是單調(diào)增函數(shù)時     
所以-sinα≤-

3

2

，即sinα≥

3

2

，又∵α∈[0，2π）
所求α的取值范圍是[

π

3

，

2π

3

]．
當是得到減函數(shù)時，-sinα≥

1

2

，即sinα≤-

1

2

，又∵α∈[0，2π），
∴所求α的取值范圍是[

7π

6

，

11π

6

]；
（3）當α∈[0，

π

2

]時，sinα∈[0，1]，-sinα∈[-1，0]，
當對稱軸x=-sinα＜-

3

2

時，f（x）的最小值為f（-

3

2

）=-

1

4

-

3

sinα．
當對稱軸x=-sinα≥-

3

2

時，f（x）的最小值為f（sinα）=3sin²α-1．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，利用配方求得其對稱軸，結合函數(shù)的圖象直觀形象，注意討論思想的運用，是個中檔題．