Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx-$\frac{a}{x}$，a∈R
（1）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)，求a的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$，（x＞0）．函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)，可得分子g（x）=ax²-x+a在x＞0時(shí)，恒有g(shù)（x）≥0，或g（x）≤0成立．化為a≥$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，或a≤$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．即可得出．
（2）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$，（x＞0）．由（1）可得：a∈（-∞，0]∪$[\frac{1}{2}，+∞）$時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)，最多有一個(gè)零點(diǎn)．
$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，令ax²-x+a=0，解得x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$．其中0＜x₁＜1＜x₂．f′（x）=$\frac{a（x-{x}_{1}）（x-{x}_{2}）}{{x}^{2}}$，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增；在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減．f（1）=0．即可得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$，（x＞0）．
∵函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)，∴分子g（x）=ax²-x+a在x＞0時(shí)，恒有g(shù)（x）≥0，或g（x）≤0成立．
∴a≥$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，或a≤$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
∴a≥$\frac{1}{2}$，或a≤0．
∴a的取值范圍是（-∞，0]∪$[\frac{1}{2}，+∞）$．
（2）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$，（x＞0）．
由（1）可得：a∈（-∞，0]∪$[\frac{1}{2}，+∞）$時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)，最多有一個(gè)零點(diǎn)．
①a∈（-∞，0]時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，而f（1）=a-0-a=0，因此函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)1．
②a∈$[\frac{1}{2}，+∞）$時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，而f（1）=a-0-a=0，因此函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)1．
③$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，令ax²-x+a=0，解得x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$．其中0＜x₁＜1＜x₂．
f′（x）=$\frac{a（x-{x}_{1}）（x-{x}_{2}）}{{x}^{2}}$，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增；在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減．
x→0時(shí)，f（x）→-∞；f（1）=0；x→+∞時(shí)，f（x）→+∞．
因此此時(shí)函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．