Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（其中φ為參數(shù)），曲線C₂：x²+y²-2y=0，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求曲線C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）射線l：θ=$\frac{π}{4}$（ρ≥0）與曲線C₁，C₂分別交于點(diǎn)A，B（均異于原點(diǎn)O），求|AB|值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 參數(shù)方程化為普通方程，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得：曲線C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ） 設(shè)A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂）．將θ=$\frac{π}{4}$代入曲線C₁的極坐標(biāo)方程 ρ₁，同理將θ=$\frac{π}{4}$代入曲線C₂的極坐標(biāo)方程得ρ₂，即可得出|AB|=|ρ₁-ρ₂|．

解答 解：（Ⅰ） 曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（其中φ為參數(shù)），普通方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得：曲線C₁的極坐標(biāo)方程ρ²+ρ²sin²θ=2．
曲線C₂：x²+y²-2y=0的極坐標(biāo)方程ρ=2sinθ；
（Ⅱ）設(shè)A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂）．
將θ=$\frac{π}{4}$代入曲線C₁的極坐標(biāo)方程ρ²+ρ²sin²θ=2得 ρ₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
同理將θ=$\frac{π}{4}$代入曲線C₂的極坐標(biāo)方程ρ=2sinθ得ρ₂=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、曲線相交弦長(zhǎng)問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．