Question

【題目】焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓C的離心率為．，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)M為的中點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得；若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在滿足條件,詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)所給條件列出方程組，求解即可。

（2）對(duì)直線的斜率存在與否分類討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，即可表示出、、，則可求。

解：（1）由已知可得，解得，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）若直線的斜率不存在時(shí)，，，

所以；

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，．

聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得，

所以．

因?yàn)?/span>，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，得，解得．

，

，

同理，，

因?yàn)?/span>，

，故，存在滿足條件，

綜上可得，存在滿足條件．