【題目】某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級(jí)過(guò)濾,使用壽命為十年如圖所示兩個(gè)二級(jí)過(guò)濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級(jí)過(guò)濾器串聯(lián)安裝.
其中每一級(jí)過(guò)濾都由核心部件濾芯來(lái)實(shí)現(xiàn)在使用過(guò)程中,一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換(每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯,則一級(jí)濾芯每個(gè)160元,二級(jí)濾芯每個(gè)80元.若客戶在使用過(guò)程中單獨(dú)購(gòu)買濾芯則一級(jí)濾芯每個(gè)400元,二級(jí)濾芯每個(gè)200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的條形圖.
表1:一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表
一級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù) | 8 | 9 |
頻數(shù) | 60 | 40 |
圖2:二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖
以100個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率.
(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16的概率;
(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級(jí)濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.
【答案】(1)0.024;(2)分布列見(jiàn)解析,;(3)
【解析】
(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過(guò)濾器需要更換8個(gè)濾芯,兩個(gè)二級(jí)過(guò)濾器均需要更換4個(gè)濾芯,而由一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表和二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級(jí)過(guò)濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6,二級(jí)過(guò)濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;
(2)由二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個(gè)二級(jí)過(guò)濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,而的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率,可得到的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(3)由,且,可知若,則,或若,則,再分別計(jì)算兩種情況下的所需總費(fèi)用的期望值比較大小即可.
(1)由題意知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過(guò)濾器需要更換8個(gè)濾芯,兩個(gè)二級(jí)過(guò)濾器均需要更換4個(gè)濾芯,設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16”為事件,
因?yàn)橐粋(gè)一級(jí)過(guò)濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6,二級(jí)過(guò)濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2,所以.
(2)由柱狀圖知,一個(gè)二級(jí)過(guò)濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意的可能取值為8,9,10,11,12,
從而,
,
.
所以的分布列為
8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
0.04 | 0.16 | 0.32 | 0.32 | 0.16 |
(個(gè)).
或用分?jǐn)?shù)表示也可以為
8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
(個(gè)).
(3)解法一:記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用(單位:元)
因?yàn)?/span>,且,
1°若,則,
(元);
2°若,則,
(元).
因?yàn)?/span>,故選擇方案:.
解法二:記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯所需費(fèi)用(單位:元)
1°若,則,
的分布列為
1280 | 1680 | |
0.6 | 0.4 | |
880 | 1080 | |
0.84 | 0.16 |
該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買的各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為(元);
2°若,則,
的分布列為
800 | 1000 | 1200 | |
0.52 | 0.32 | 0.16 |
(元).
因?yàn)?/span>
所以選擇方案:.
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(1)求點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證:直線的斜率為定值;
(3)求面積的最大值.
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x(單位:克) | 0 | 1 | 2 | 9 | … |
y | 0 | 3 | … |
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)該產(chǎn)品中的新材料含量x為何值時(shí),產(chǎn)品的性能指標(biāo)值最大.
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(I)求曲線的切線方程;
(Ⅱ)求證:;
(III)求函數(shù)的最小值.
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①下潛平均速度為米/分鐘,每分鐘的用氧量為升;
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