Question

12．已知A（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{7}{4}$），B（3$\sqrt{2}$，$\frac{5}{2}$），動點P滿足|PB|=2|PA|，P的軌跡為曲線C，y軸左側(cè)的點E在直線AB上，圓心為E的圓與x軸相切，且被軸截得的弦長為$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求C和圓E的方程
（Ⅱ）若直線l與圓E相切，且與C恰有一個公共點，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動點P（x，y），動點P滿足|PB|=2|PA|，可得：${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{2}x-3y+2=0$，直線AB的方程：x-2$\sqrt{2}$y+2$\sqrt{2}$=0，設(shè)圓E的圓心為E（a，b），則有a-2$\sqrt{2}$b+2$\sqrt{2}$=0，（a＜0），r²=b²，r²=a²+$\frac{1}{16}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，即可．
（2）由（1）得兩圓都與x軸相切（如圖）依題意，直線l圓C和圓E的公切線，設(shè)兩條公切線的交點為P（t，0）
由P，E，C三點共線，可得$\frac{\frac{3}{2}-\frac{3}{4}}{\sqrt{2}-（-\frac{\sqrt{2}}{2}）}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2}-t}$，可得t=-2$\sqrt{2}$，切線PM的斜率是直線EC的斜率的2倍，可得直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)動點P（x，y），動點P滿足|PB|=2|PA|，
則（x-3$\sqrt{2}$）²+（y-$\frac{5}{2}$）²=4[（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{7}{4}$）²]，化簡得：${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{2}x-3y+2=0$，
直線AB的斜率為k_AB=$\frac{\frac{5}{2}-\frac{7}{4}}{3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
∴直線AB的方程：x-2$\sqrt{2}$y+2$\sqrt{2}$=0
設(shè)圓E的圓心為E（a，b），則有a-2$\sqrt{2}$b+2$\sqrt{2}$=0，（a＜0）
r²=b²，r²=a²+$\frac{1}{16}$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，圓E：（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$
曲線C：${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{2}x-3y+2=0$，
圓E：（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$；
（2）由（1）得曲線C是圓心為C（$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$），半徑為$\frac{3}{2}$的圓，
圓E是圓心為E（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{4}$），半徑為$\frac{3}{4}$的圓
兩圓都與x軸相切（如圖）
依題意，直線l圓C和圓E的公切線
設(shè)兩條公切線的交點為P（t，0）
由P，E，C三點共線，可得$\frac{\frac{3}{2}-\frac{3}{4}}{\sqrt{2}-（-\frac{\sqrt{2}}{2}）}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2}-t}$，可得t=-2$\sqrt{2}$
切線PM的斜率是直線EC的斜率的2倍，
∵${k}_{EC}=\frac{3}{\frac{2}{3\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴${k}_{PM}=\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{4}}{1-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{7}$
由點斜式可得PM：y=$\frac{4\sqrt{2}}{7}（x+2\sqrt{2}$）
綜上，直線l的方程為：y=$\frac{4\sqrt{2}}{7}（x+2\sqrt{2}$）或y=0．

點評 本題考查了動點的軌跡、圓的方程，兩圓的公切線方程，屬于中檔題．