精英家教網(wǎng)已知正方體ABCD-A,B1C1D1中.
(1)求異面直線ABCD與A1B1C1D1所成角的大小
(2)求證:BD⊥A1C;
(3)求三棱錐C1-A1BD的體積.
分析:(1)求異面直線所成的角,一般有兩種方法,一種是幾何法,其基本解題思路是“異面化共面,認(rèn)定再計(jì)算”,即利用平移法和補(bǔ)形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中,結(jié)合余弦定理來(lái)求.還有一種方法是向量法,即建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的代數(shù)法和幾何法求解.本題由于四邊形CDA1B1是平行四邊形∴A1D∥B1C,即用第一種方法較為簡(jiǎn)單.
(2)欲證明直線與直線垂直,可以先證明直線與平面垂直.由BD⊥平面AA1C,可得BD⊥A1C
(3)利用割補(bǔ)法易得:VC-ABD=VABCD-ABCD-4VA-ABD
解答:解:(1)連接A1D,A1B,知四邊形CDA1B1是平行四邊形
∴A1D∥B1C,∴∠A1DB或其補(bǔ)角是異面直線BD與B1C所成的角(2分)
又∵A1D=A1B=BD=
2
a,∴∠A1DB=60°(3分)
∴異面直線BD與B1C所成的角是60°(4分)
(2)證明:由正方體知:⊥
A1A⊥底面ABCD
  BD∈底面ABCD

?
A1A⊥BD
又AC⊥BD
A1A∩AC=A

?
BD⊥面AA1C
A1C?面AA1C

?BD⊥AC1
(3)解:VA-ABD
1
3
×S△ABD×AA1=
1
3
×
1
2
×a×a×a=a3(10分)
VC-ABD=VABCD-ABCD-4VA-ABD=a3-4×
1
6
a3=
1
3
a3(12分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查空間線面關(guān)系、面面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.
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如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P在平面DD1C1C內(nèi),PD1=PC1=
2
.求證:
(1)平面PD1A1⊥平面D1A1BC;
(2)PC1∥平面A1BD.

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3
6
3
6

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(2)求異面直線AD1與 C1O所成角的大小.

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