Question

4．無(wú)論a取何值，過(guò)點(diǎn)P（4，6+2a）和Q（1，3a）的直線總過(guò)第一、二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{3}{5}，6$）．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把過(guò)點(diǎn)P（4，6+2a）和Q（1，3a）的直線總過(guò)第一、二象限轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)P、Q與過(guò)點(diǎn)O、P的直線的斜率間的關(guān)系求解．

解答 解：如圖
${k}_{PQ}=\frac{6+2a-3a}{4-1}=\frac{6-a}{3}$，${k}_{OP}=\frac{6+2a}{4}=\frac{3+a}{2}$，
要使過(guò)點(diǎn)P（4，6+2a）和Q（1，3a）的直線總過(guò)第一、二象限，
則$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{PQ}＞0}\\{{k}_{OP}＞{k}_{PQ}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{PQ}＜0}\\{{k}_{OP}＜{k}_{PQ}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-a}{3}＞0}\\{\frac{3+a}{2}＞\frac{6-a}{3}}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-a}{3}＜0}\\{\frac{3+a}{2}＜\frac{6-a}{3}}\end{array}\right.$②
解①得：$\frac{3}{5}＜a＜6$；
解②得：a∈∅．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{3}{5}，6$）．
故答案為：（$\frac{3}{5}，6$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的斜率，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．