Question

3．己知兩點(diǎn)A（-3，0）、B（3，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足直線AM、BM的斜率之積為-$\frac{4}{9}$．動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若∠AMB為鈍角，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)斜率之積的關(guān)系建立方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．
（2）A，B是所求橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，根據(jù)∠AMB為鈍角的等價(jià)條件進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），（x≠±3），則${k}_{AM}=\frac{y}{x+3}$，${k}_{BM}=\frac{y}{x-3}$，
由題意得$\frac{y}{x+3}$•$\frac{y}{x+3}$=-$\frac{4}{9}$，
即$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-9}$=-$\frac{4}{9}$，化為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，（x≠±3）．
∴曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，（x≠±3）；
（2）設(shè)M（x，y），∵A（-3，0）、B（3，0），
∴A，B是方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的兩個(gè)頂點(diǎn)，
當(dāng)M在$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠AMB是恒為鈍角，
此時(shí)-3＜x＜3，
即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是（-3，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，根據(jù)條件求出曲線C的方程是解決本題的關(guān)鍵．