Question

已知：直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于A、F（不與B重合），直線l與⊙O相切于C，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC．
（1）求證：∠BAC=∠CAG；
（2）求證：AC²=AE•AF．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：證明題,立體幾何

分析：（1）連接BC，根據(jù)AB為⊙O的直徑得到∠ECB與∠ACG互余，根據(jù)弦切角得到∠ECB=∠BAC，得到∠BAC與∠ACG互余，再根據(jù)∠CAG與∠ACG互余，得到∠BAC=∠CAG；
（2）連接CF，利用弦切角結(jié)合（1）的結(jié)論，可得∠GCF=∠ECB，再用外角進(jìn)行等量代換，得到∠AFC=∠ACE，結(jié)合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE，從而得到AC是AE、AF的比例中項(xiàng)，從而得到AC²=AE•AF．

解答： 證明：（1）連接BC，
∵AB為⊙O的直徑…（2分）
∴∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°…（1分）
∵GC與⊙O相切于C，
∴∠ECB=∠BAC
∴∠BAC+∠ACG=90°…（4分）
又∵AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90°
∴∠BAC=∠CAG…（6分）
（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，連接CF
∵GE與⊙O相切于C，
∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB
∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°
∴∠AFC=∠ACE…（8分）
∵∠FAC=∠CAE
∴△FAC∽△CAE…（10分）
∴

AC

AE

=

AF

AC

∴AC²=AE•AF…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．解題時(shí)要注意充分利用互余的角和弦切角進(jìn)行等量代換，方可得到相似三角形．