Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA=BD=

2

，AD=2，PA=PD=

5

，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點．
（1）證明：BC上是否存在一點G使得平面EFG∥平面PAB
（2）若二面角P-AD-B為60°，①證明：BE⊥PB；②求直線EF與平面PBC所成角的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）證明線面平行，一般利用線線平行進行證明．本題條件中的中點較多，所以取BC的中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，證明EG∥平面PAB，F(xiàn)G∥平面PAB，可得平面EFG∥平面PAB
（2）①證明PB²+BE²=PE²，可得BE⊥PB；
②證明∠BFE即為直線EF與平面PBC所成角，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：（1）取BC的中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，
∵E，G分別是AD，BC的中點，∴EG∥AB，
又EG?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EG∥平面PAB，…..（2分）
又∵F，G分別是PC，BC的中點，∴FG∥PB，
∵FG?平面PAB，PB?平面PAB，∴FG∥平面PAB（2分），
又FG∩EG=G，∴平面EFG∥平面PAB，G即為所求的點…..（5分）
（2）①∵PA=PD，AB=BD，E為AD的中點，∴AD⊥PE，AD⊥BE，
∴∠BEP即為二面角P-AD-B的平面角，∴∠BEP=60°，…..（6分）
∵AB=

2

，AE=1，∴BE=1，
∵PA=

5

，AE=1，∴PE=2，
∴PB=

12+22-2×1×2×cos60°

=

3

，∴PB²+BE²=PE²，∴BE⊥PB…（8分）
②∵AD⊥BE，∴BE⊥BC，
又BE⊥PB，BC∩PB=B，∴BE⊥平面PBC，
連結(jié)BF，則∠BFE即為直線EF與平面PBC所成角，…..（10分）
∵PB=

3

，PA=

5

，AB=

2

，∴PB⊥AB，
由BE⊥PB，PB⊥AB得PB⊥平面ABCD，
∴PB⊥BC，PB=

3

，BC=AD=2，∴PC=

7

，∴BF=

7

2

，
又BE=1，
∴tan∠BFE=

1

7 2

=

2 7

7

….12分）

點評：本題考查平面與平面平行，考查線面垂直，考查直線EF與平面PBC所成角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．