Question

在平面直角坐標系x Oy中，直線l的參數方程為

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t為參數）．在以原點 O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標中，圓C的方程為ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若點 P坐標為(3，

5

)，圓C與直線l交于 A，B兩點，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

考點：直線的參數方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：選作題,坐標系和參數方程

分析：（Ⅰ）先利用兩方程相加，消去參數t即可得到l的普通方程，再利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得圓C的直角坐標方程．
（Ⅱ）把直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，利用參數的幾何意義，求|PA|+|PB|的值．

解答： 解：（Ⅰ）由

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

得直線l的普通方程為x+y-3-

5

=0--------2分
又由ρ=2

5

sinθ得 ρ²=2

5

ρsinθ，化為直角坐標方程為x²+（y-

5

）²=5；---------5分
（Ⅱ）把直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，
得（3-

2

2

t）²+（

2

2

t）²=5，即t²-3

2

t+4=0
設t₁，t₂是上述方程的兩實數根，
所以t₁+t₂=3

2

又直線l過點P(3，

5

)，A、B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，
所以|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3

2

．------------------10分．

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化．