Question

7．若$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，-1），$\overrightarrow$=（1，cosx）
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，求tanx的值
（2）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，求函數(shù)f（x）的最小正周期以及最大值．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直的充要條件可得$\sqrt{3}$sinx-cosx=0，變形可得tanx的值；
（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、輔助角公式將函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）因?yàn)?\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，所以$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
即$\sqrt{3}sinx-cosx=0$，則$tanx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（2）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=\sqrt{3}sinx-cosx$，
$\begin{array}{l}=2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx）\\=2（sinxcos\frac{π}{6}-cosxsin\frac{π}{6}）\end{array}$
=$2sin（x-\frac{π}{6}）$，
所以，函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，最大值是2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性和求法，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．