Question

（本題滿分16分）已知函數(shù)（）.

（1）當(dāng)時，求的最小值；

（2）若函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求的最小值.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）的最小值為.

【解析】

試題分析：（1）由函數(shù)的單調(diào)性，易得函數(shù)的最小值；（2）可將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，進(jìn)而通過換元，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合達(dá)到解決問題的目的；（3）將函數(shù)與方程之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，將問題朝易于解決的方向轉(zhuǎn)化，最終求出上有零點(diǎn)的條件，而的幾何意義就是表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，這樣就可以在約束條件下，求的最小值.

試題解析：（1）當(dāng)時，，顯然在定義域內(nèi)為增函數(shù)，.

（2）由題意可知，在上恒成立，令，則，代入得在上恒成立，即，即對恒成立，即在上恒成立，此時只需且，所以有.

（3）依題意：在上有解，

即，令，則，代入得方程在上有解，

設(shè)（），

當(dāng)，即時，只需，的幾何意義就是表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，在此條件下，有；

當(dāng)，即時，只需，即，即，的幾何意義就是表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，在此條件下，有. 所以的最小值為.

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用.