Question

13．（Ⅰ）二項式${（\sqrt{x}+\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}（{n∈{N^*}}）$的前三項的系數(shù)的和為129，寫此展開式中所有有理項和二項式系數(shù)最大的項；
（Ⅱ）已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，求下列各式的值．
（1）a₀；
（2）a₁+a₂+a₃+…+a₇；
（3）a₁+a₃+a₅+a₇；
（4）a₀+a₂+a₄+a₆；
（5）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件求得n的值，利用二項展開式的通項公式，可得展開式中所有有理項和二項式系數(shù)最大的項．
（Ⅱ）對于${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，分別給x賦值，可得要求式子的值．

解答 解：（Ⅰ）∵二項式${（\sqrt{x}+\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}（{n∈{N^*}}）$的前三項的系數(shù)的和為129，
∴${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$•2+${C}_{n}^{2}$•2²=129，求得n=8，故展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^r•${x}^{4-\frac{5r}{6}}$，
令4-$\frac{5r}{6}$為整數(shù)，可得r=0，6，故此展開式中所有有理項為：T₁=x⁴，T₇=${C}_{8}^{6}$•x^-1．
二項式系數(shù)最大的項為T₅=${C}_{8}^{4}$•${x}^{\frac{2}{3}}$．
（Ⅱ）∵已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，
（1）在已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$中，令x=0，可得a₀=-1．
（2）在已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$中，
令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇ =2⁷=128  ①，∴a₁+a₂+a₃+…+a₇ =2⁷+1=129．
（3）在已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$中，令x=-1，可得a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇ =-4⁷ ②，
把①式減去②式，并除以2，可得 a₁+a₃+a₅+a₇ =$\frac{128{+4}^{7}}{2}$．
（4）把①式加上②式，并除以2，可得a₀+a₂+a₄+a₆=$\frac{128{-4}^{7}}{2}$．
（5）根據(jù)${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|即為（3x+1）⁷的展開式中各項系數(shù)和，為4⁷．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．