Question

17．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)；
（2）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對(duì)年級(jí)名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到右表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，

年級(jí)名次 是否近視	1～50	951～1000
近視	41	32
不近視	9	18

能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？
（3）在（2）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)各組的頻率為f_i（i=1，2，3，4，5，6），由已知得后四組頻數(shù)依次為27，24，21，18，由此能求出估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)．
（2）求出K²，由此能求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系．
（Ⅲ）依題意9人中年級(jí)名次在1～50名和951～1000名分別有3人和6人，X可取0、1、2、3，分別求出相應(yīng)在的概率，由此能求出X的分布列和X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)各組的頻率為f_i（i=1，2，3，4，5，6），
由圖可知，第一組有3人，第二組7人，第三組27人，…（1分）
因?yàn)楹笏慕M的頻數(shù)成等差數(shù)列，
所以后四組頻數(shù)依次為27，24，21，18…（2分）
所以視力在5.0以下的頻率為：$\frac{3+7+27+24+21}{100}$=0.82，
故全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)約為$1000×\frac{82}{100}=820$…（3分）
（2）${k^2}=\frac{{100×{{（41×18-32×9）}^2}}}{50×50×73×27}=\frac{300}{73}≈4.110＞3.841$
因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系．…（6分）
（Ⅲ）依題意9人中年級(jí)名次在1～50名和951～1000名分別有3人和6人，X可取0、1、2、3，…（7分）
$P（X=0）=\frac{C_6^3}{C_9^3}=\frac{20}{84}$，
$P（X=1）=\frac{C_6^2C_3^1}{C_9^3}=\frac{45}{84}$，
$P（X=2）=\frac{C_6^1C_3^2}{C_9^3}=\frac{18}{84}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^3}{C_9^3}=\frac{1}{84}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{20}{84}$	$\frac{45}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{1}{84}$

…（11分）
X的數(shù)學(xué)期望$E（X）=0×\frac{20}{84}+1×\frac{45}{84}+2×\frac{18}{84}+3×\frac{1}{84}=1$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型機(jī)隨機(jī)變量概率分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合的合理運(yùn)用．