Question

17．某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調(diào)查，在高三的全體1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)；
（2）學習小組成員發(fā)現(xiàn)，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學習成績是否有關系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學生進行了調(diào)查，得到右表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，

年級名次 是否近視	1～50	951～1000
近視	41	32
不近視	9	18

能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系？
（3）在（2）中調(diào)查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了9人，進一步調(diào)查他們良好的護眼習慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50的學生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．
附：

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）設各組的頻率為f_i（i=1，2，3，4，5，6），由已知得后四組頻數(shù)依次為27，24，21，18，由此能求出估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)．
（2）求出K²，由此能求出在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系．
（Ⅲ）依題意9人中年級名次在1～50名和951～1000名分別有3人和6人，X可取0、1、2、3，分別求出相應在的概率，由此能求出X的分布列和X的數(shù)學期望．

解答 解：（1）設各組的頻率為f_i（i=1，2，3，4，5，6），
由圖可知，第一組有3人，第二組7人，第三組27人，…（1分）
因為后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，
所以后四組頻數(shù)依次為27，24，21，18…（2分）
所以視力在5.0以下的頻率為：$\frac{3+7+27+24+21}{100}$=0.82，
故全年級視力在5.0以下的人數(shù)約為$1000×\frac{82}{100}=820$…（3分）
（2）${k^2}=\frac{{100×{{（41×18-32×9）}^2}}}{50×50×73×27}=\frac{300}{73}≈4.110＞3.841$
因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系．…（6分）
（Ⅲ）依題意9人中年級名次在1～50名和951～1000名分別有3人和6人，X可取0、1、2、3，…（7分）
$P（X=0）=\frac{C_6^3}{C_9^3}=\frac{20}{84}$，
$P（X=1）=\frac{C_6^2C_3^1}{C_9^3}=\frac{45}{84}$，
$P（X=2）=\frac{C_6^1C_3^2}{C_9^3}=\frac{18}{84}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^3}{C_9^3}=\frac{1}{84}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{20}{84}$	$\frac{45}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{1}{84}$

…（11分）
X的數(shù)學期望$E（X）=0×\frac{20}{84}+1×\frac{45}{84}+2×\frac{18}{84}+3×\frac{1}{84}=1$…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查離散型機隨機變量概率分布列、數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合的合理運用．