Question

7．如圖所示，長方形ABCD中，AB=2，BC=4，以D為圓心的兩個圓心半圓，半徑分別為1和2，G為大半圓直徑的右端點，E為大半圓上的一個動點，DE與小半圓交于點F，EM⊥BC，垂足為M，EM與大半圓直徑交于點H，F(xiàn)N⊥EM，垂足為N．
（Ⅰ）設(shè)∠GDE=30°，求MN的長度；
（Ⅱ）求△BMN的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過F作FQ⊥AG于Q，可得∠GDF=30°，可得MN=MH+QF=2+sin30°，計算可得；
（Ⅱ）設(shè)∠GDE=α，α∈[0，π]，可得△BMN的面積為S=$\frac{1}{2}$•（sinα+2）•（2cosα+4）=4+2（sinα+cosα）+sinαcosα，令t=sinα+cosα，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：（Ⅰ）過F作FQ⊥AG于Q．∵∠GDF=30°，
∴MN=MH+HN=MH+QF=2+sin30°=$\frac{5}{2}$；
（Ⅱ）設(shè)∠GDE=α，α∈[0，π]，
則MN=MH+HN=sinα+2，BM=BC+CM=2cosα+4，
∴△BMN的面積為S=$\frac{1}{2}$•（sinα+2）•（2cosα+4），
∴S=4+2（sinα+cosα）+sinαcosα，
令t=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
則t∈[-1，$\sqrt{2}$]，且sinαcosα=$\frac{1}{2}$（t²-1），
則S=$\frac{1}{2}$t²+2t+$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$（t+2）²+$\frac{3}{2}$，
當(dāng)t=$\sqrt{2}$，即α=$\frac{π}{4}$時，S取最大值，
故△BMN面積的最大值為$\frac{9+4\sqrt{2}}{2}$

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換的實際應(yīng)用，涉及三角形的面積和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．