Question

（本小題滿分14分）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）＝＋ax，g（x）＝4a2lnx＋b，其中a＞0，設(shè)兩曲線y＝f（x）與y＝g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同.

（1）若a＝1，求兩曲線y＝f（x）與y＝g（x）在公共點處的切線方程；

（2）用a表示b，并求b的最大值.

 

Answer 1

（1）8x－2y－3＝0；（2）b＝－4a2lna，最大值為.

【解析】

試題分析：（1）在公共點處切線相同，包含兩層意思，一是兩曲線都經(jīng)過公共點，二是在該點處切線的斜率（導數(shù)值）相同，結(jié)合a＝1可求出切線方程；（2）同（1）即可得到a與b的關(guān)系式，將b寫成a的函數(shù)，利用導函數(shù)判斷單調(diào)性，進而求最值.

試題解析：（1）當a＝1時，f（x）＝＋x，g（x）＝4lnx＋b（x＞0）

f '（x）＝3x＋1，g'（x）＝

設(shè)曲線y＝f（x）與y＝g（x）在公共點（x0，y0）處的切線相同，

則有

即

解得x0＝1，b＝（其中x0＝－舍去）

∴公共點為（1，）

公共點處的切線方程為y－＝4（x－1）

即8x－2y－3＝0

（2）f '（x）＝3x＋a，g'（x）＝，設(shè)在點（x0，y0）處的切線相同，

則有

即

由②得3x02＋ax0－4a2＝0

即（x0—a）（3x0＋4a）＝0

得x0＝a，或x0＝－（舍去）

于是b＝＋a2－4a2lna＝－4a2lna

令h（t）＝－4t2lnt（t＞0）

則h'（t）＝5t－8tlnt－4t＝t（1－8lnt）

于是當t（1－8lnt）＞0，即0＜t＜時，h'（t）＞0

故h（t）在（0，）上遞增

當t（1－8lnt）＜0，即t＞時，h'（t）＜0

故h（t）在（，＋∞）上遞減

所以，h（t）在t＝處取得最大值

所以，當a＝時，b取得最大值.

考點：導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)的最值