Question

【題目】如圖，三棱柱,平面,,,為的中點(diǎn)。

（1）求證：平面；

（2）若，求二面角的余弦值；

（3）若點(diǎn)在線段上，且平面,確定點(diǎn)的位置并求線段的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）連接，交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求得∥，利用線面平行的判定定理，即可得到∥平面.

（2）以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面H和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（3）設(shè)，根據(jù)平面，列出方程組，即可求解.

（1）連接，交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以∥.

又平面，平面，

所以∥平面.

（2）因?yàn)?/span>平面，∥，

所以平面，又

故以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向

建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

所以

設(shè)平面的法向量為，

則有 即

令，則得.

又平面的法向量為，且二面角為銳角，

故二面角的余弦值為

（3）設(shè)因?yàn)?/span>，所以，

.

又 ,,平面，

所以 解得

所以，且點(diǎn)在線段的三等分點(diǎn)處，即