Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作兩條直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)（異于），當(dāng)直線，的斜率之和為4時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）首先根據(jù)題中所給的條件，得到所滿足的等量關(guān)系式，求解即可；

（2）分直線AB的斜率存在與不存在兩種情況進(jìn)行討論，寫出直線的方程，，將其與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)題中的條件，求得，從而求得直線所過的定點(diǎn)為，當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證也過該點(diǎn)，得證.

（1）由題意知：，，.

解得，，，所以橢圓方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，.

由，得，

聯(lián)立，消去得，由題意知二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根，

∴，.

代入得，整理得.

∵，∴，∴，，所以直線恒過定點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，其中，∴.由，得，∴.

∴當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線也過定點(diǎn).

綜上所述，直線恒過定點(diǎn).