Question

4．已知a₁，a₂，a₃，…，a_k是有限項(xiàng)等差數(shù)列，且a₄+a₇+a₁₀=17，a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄=77，若a_k=13，則k的值是18．

Answer 1

分析 由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，從而求出等差數(shù)列通項(xiàng)公式，由此能求出k的值．

解答 解：∵a₁，a₂，a₃，…，a_k是有限項(xiàng)等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∵a₄+a₇+a₁₀=17，
a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄=77，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+18d=17}\\{11{a}_{1}+88d=77}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=\frac{5}{3}，d=\frac{2}{3}$，
∴${a}_{n}=\frac{5}{3}+（n-1）×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}n+1$，
∵a_k=13，∴$\frac{2}{3}k+1$=13，解得k=18．
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．