Question

16．設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，2，0），$\overrightarrow$=（1，0，1）．則“$\overrightarrow{c}$=（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$）”是“$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow$且$\overrightarrow{c}$為單位向量”的充分不必要條件（填充要，充分不必要，必要不充分）．

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的定義和公式求出$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)，根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y，z），若滿足“$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow$且$\overrightarrow{c}$為單位向量”
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{c}•\overrightarrow=x+z=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1}\end{array}\right.$，
即x=-2y，z=-x=2y，代入x²+y²+z²=1得4y²+y²+4y²=1，
即9y²=1，y²=$\frac{1}{9}$，
則y=$\frac{1}{3}$或$-\frac{1}{3}$，
當(dāng)y=$\frac{1}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
當(dāng)y=$-\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{c}$=（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
故“$\overrightarrow{c}$=（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$）”是“$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow$且$\overrightarrow{c}$為單位向量”的充分不必要條件，
故答案為：充分不必要

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)向量數(shù)量積的定義求出向量$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．