Question

已知向量

m

=（2sinωx，cos²ωx-sin²ωx），

n

=（

3

cosωx，1），其中ω＞0，x∈R．若函數(shù)f（x）=

m

•

n

的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）在△ABC中，若f（B）=-2，BC=

3

，sinB=

3

sinA，求

BA

•

BC

的值．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：（I）利用數(shù)量積運(yùn)算可得f（x）=2sin(2ωx+

π

6

)，利用函數(shù)f（x）的最小正周期為π，ω＞0，可得

2π

2ω

=π，解得ω即可．
（II）由（I）可得：f（x）=2sin(2x+

π

6

)．由f（B）=-2，可得sin(2B+

π

6

)=-1，B∈（0，π）．B=

2π

3

．利用BC=

3

，sinB=

3

sinA，可得a=

3

，b=

3

a．由正弦定理可得：

3

sinA

=

3

sin 2π 3

，解得sinA，C，c．再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（I）f（x）=

m

•

n

=2sinωx×

3

cosωx+cos²ωx-sin²ωx
=

3

sin2ωx+cos2ωx
=2sin(2ωx+

π

6

)，
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，ω＞0，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1．
（II）由（I）可得：f（x）=2sin(2x+

π

6

)．
∵f（B）=-2，∴2sin(2B+

π

6

)=-2，∴sin(2B+

π

6

)=-1，B∈（0，π）．
∴B=

2π

3

．∵BC=

3

，sinB=

3

sinA，
∴a=

3

，b=

3

a．∴b=3．由正弦定理可得：

3

sinA

=

3

sin 2π 3

，解得sinA=

1

2

，∵A∈(0，

π

3

)，∴A=

π

6

．∴C=

π

6

，c=

3

．
∴

BA

•

BC

=cacosB=

3

×

3

cos

2π

3

=-

3

2

．

點評：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、兩角和差的余弦公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．