Question

一條斜率為1的直線?與離心率為

3

的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于P、Q兩點(diǎn)，直線?與y軸交于點(diǎn)R，且

OP

•

OQ

=-3，

PQ

=4

RQ

，求直線與雙曲線方程．

Answer 1

分析：由離心率化簡雙曲線方程，設(shè)出直線?方程，代入雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入2個(gè)關(guān)于向量的等式求待定系數(shù)．

解答：解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為

3

，b²=2a²，
∴雙曲線方程即：

x2

a2

-

y2

2a2

=1，設(shè)直線?方程：y=x+k，點(diǎn)R（0，k）
代入雙曲線方程得：x²-2kx-k²-2a²=0，設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2k，則x₁•x₂=-k²-2a²，
∵

OP

•

OQ

=-3，∴（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁•x₂+（x₁+k）（x₂+k）=2x₁•x₂+k（x₁+x₂）+k²
=2（-k²-2a²）+k•2k+k²=k²-4a²=-3      ①，
∵

PQ

=4

RQ

，
∴（x₂-x₁，x₂-x₁）=4（x₂-0，x₂+k-k），∴x₁=-3x₂②
把②代入根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁=3k，x₂=-k，k²=a²，
再由①得：a=1，k=±1，
∴直線?的方程為x-y-1=0 或x-y+1=0，
雙曲線的方程：x²-

y2

2

=1．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的性質(zhì)、向量運(yùn)算、直線與雙曲線的位置關(guān)系．