Question

5．函數(shù)f（x）=log_a（a^x+1）+mx是偶函數(shù)．
（1）求m；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，若函數(shù)f（x）的圖象與直線l：y=-mx+n無(wú)公共點(diǎn)，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）=log_a（a^x+1）+mx是偶函數(shù)．則f（-x）=f（x），進(jìn)而可得m的值；
（2）令log_a（a^x+1）+mx=-mx+n，即n=log_a（a^x+1）+2mx=log_a（a^x+1）-x，求出函數(shù)的值域，可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a（a^x+1）+mx是偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x），
即log_a（a^-x+1）-mx=log_a（a^x+1）+mx，
即log_a（$\frac{{a}^{-x}+1}{{a}^{x}+1}$）=-x=2mx，
解得：m=-$\frac{1}{2}$；
（2）令log_a（a^x+1）+mx=-mx+n，
即n=log_a（a^x+1）+2mx=log_a（a^x+1）-x，
n′=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$-1=$\frac{-1}{{a}^{x}+1}$＜0恒成立，
即n=log_a（a^x+1）-x為減函數(shù)，
∵$\lim_{x→-∞}{log}_{a}（{a}^{x}+1）-x$→+∞，
$\lim_{x→+∞}{log}_{a}（{a}^{x}+1）-x$→0，
故n∈（0，+∞），
若函數(shù)f（x）的圖象與直線l：y=-mx+n無(wú)公共點(diǎn)，則n∈（-∞，0]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．