Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其右焦點為（1，0），并且經(jīng)過點（

2

2

，

3

2

），直線l與C相交于M、N兩點，l與x軸、y軸分別相交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）判斷是否存在直線l，使得P、Q是線段MN的兩個三等分點，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得a²-b²=1，

1

2a2

+

3

4b2

=1，由此能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）由題意，設直線l的方程為y=kx+m（km≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則P（-

m

k

，0），Q（0，m），由方程組

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韋達定理、三等分點性質，中點坐標公式、弦長公式結合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵右焦點為（1，0），∴a²-b²=1，
∵橢圓且經(jīng)過點（

2

2

，

3

2

），
∴

1

2a2

+

3

4b2

=1，
解得a²=2，b²=1，
∴橢圓C的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由題意，設直線l的方程為y=kx+m（km≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則P（-

m

k

，0），Q（0，m），
由方程組

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
其中△=16k²-8m²+8，
由韋達定理得x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，
由P，Q是線段MN的兩個三等分點，得線段MN的中點與線段PQ的中點重合，
∴x1+x2=

-4km

1+2k2

=0-

m

k

，解得k=±

2

2

，
由P，Q是線段MN的兩個三等分點，得|MN|=3|PQ|，
∴

1+k2

•|x1-x2|=3

( m k )2+m2

，
|x₁-x₂|=

( -4km 1+2k )2-4× 2m2-2 1+2k2

=3|

m

k

|，
解得m=±

5

5

，滿足△=16k²-8m²+8＞0，
∴存在直線l，使得P，Q是線段MN的兩個三等分點，
此時直線l的方程為y=

2

2

x±

5

5

或y=-

2

2

x±

5

5

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．