Question

【題目】已知二次函數(shù)，設(shè)是函數(shù)在上的最大值．

（1）當時，求關(guān)于的解析式；

（2）若對任意的，恒有，求滿足條件的所有實數(shù)對．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：本題表面上是新定義問題，實質(zhì)上新定義僅僅是最大值的另一種說法，（1）問題就是求在區(qū)間上的最大值，由于絕對值符號里面的式子是二次的，對稱軸是，因此其在區(qū)間上遞減，從而只要考慮和的大小可得結(jié)論；（2）首先要求，從（1）的研究知，須按對稱軸與區(qū)間的關(guān)系分類，當或時，在區(qū)間上單調(diào)，因此有，，下面對此式進行放縮，有

，研究這里三個不等號取等號的條件可得，當時，還需分類討論到底有還是有，（按的大小分類，也即1,2哪個離對稱軸遠），同上進行放縮以求得取最小值時的，比較的最小值可得．

試題解析：（1）當時，，則在上單調(diào)遞減，故在上的值域為．

從而；

（2）函數(shù)的對稱軸為，下面討論的大小關(guān)系來確定的單調(diào)性．

①當或時，在上單調(diào)，又，，

不等號1,2,3取到等號的條件分別為或，

從而或

②當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，

，

ⅰ）當時，

不等號1,2,3取到等號的條件分別為，故．

ⅱ）當時，

不等號1,2,3取到等號的條件分別為，故，這與矛盾．

綜上所述，當且僅當，時，對任意的，恒有，

故滿足條件的所有實數(shù)對為．