如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)橢圓,其中,過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)和,且滿足,,其中為正常數(shù). 當(dāng)點(diǎn)恰為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí),對(duì)應(yīng)的.
(1)求橢圓的離心率;
(2)求與的值;
(3)當(dāng)變化時(shí),是否為定值?若是,請(qǐng)求出此定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
(1);(2);(3)
【解析】
試題分析:(1)求橢圓的離心率,即尋找關(guān)于a,c的等式,而題中已知了,在橢圓中有代入已知等式,可獲得關(guān)于a,c的等式,從而可求得離心率的值;(2)因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)恰為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí),對(duì)應(yīng)的,此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)可表表示為(a,0),再由及可用a將點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出來,因?yàn)辄c(diǎn)在已知橢圓上,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得到關(guān)于a,b的一個(gè)方程,聯(lián)立可解出a,b的值;(3)注意由(2)結(jié)論可得到:橢圓的方程為,應(yīng)用點(diǎn)差法:設(shè)出,由得到①,再由得到②;再將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入橢圓方程后相減,可將直線AB的斜率用A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示,同理將C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入橢圓方程后相減,可將直線CD的斜率用C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示,由平面幾何知識(shí)可知AB//CD,所以=,再將①②代入即可求出含與的方程,可解得的值,此值若與有關(guān),則不是定值,此值若與無關(guān),則是定值.
試題解析:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719553773698272/SYS201411171955441903637794_DA/SYS201411171955441903637794_DA.023.png">,所以,得,即,
所以離心率. 4分
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719553773698272/SYS201411171955441903637794_DA/SYS201411171955441903637794_DA.028.png">,,所以由,得, 7分
將它代入到橢圓方程中,得,解得,
所以. 10分
(3)法一:設(shè),
由,得, 12分
又橢圓的方程為,所以由,
得 ①, 且 ②,
由②得,,
即,
結(jié)合①,得, 14分
同理,有,所以,
從而,即為定值. 16分
法二:設(shè),
由,得,同理, 12分
將坐標(biāo)代入橢圓方程得,兩式相減得
,
即, 14分
同理,,
而,所以,
所以,
所以,
即,所以為定值. 16分
(說明:只給對(duì)結(jié)論但未正確證明的,給2分)
考點(diǎn):1.橢圓的離心率;2.橢圓的方程;3.圓錐曲線的定值問題.
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已知是兩條不同的直線,是一個(gè)平面,則下列說法正確的是( )
A、若,則 B、若,則
C、若,則 D、若,則
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如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖,若該幾何體的體積為,則主視圖中三角形的高x的值為( )
A. B. C.1 D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省高二下學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之差為 .
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、設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和,,則( )
A、 B、 C、 D、
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設(shè)數(shù)列滿足,.
(1)求;
(2)先猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆吉林省長春市新高三起點(diǎn)調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.
(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2) 設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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